Question

19．從拋物線y²=32x上各點向x軸作垂線，其垂線段中點的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=k（x-2）（k＞0）與軌跡E交于A，B兩點，且點F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設出垂線段的中點為M（x，y），P（x₀，y₀）是拋物線上的點，把它們坐標之間的關系找出來，代入拋物線的方程即可；
（Ⅱ）根據拋物線的方程求出準線方程，利用拋物線的定義即條件，求出A，B的中點橫坐標，即可求出弦AB的長．

解答 解：（Ⅰ）設垂線段的中點M（x，y），P（x₀，y₀）是拋物線上的點，D（x₀，0），
因為M是PD的中點，所以x₀=x，y=$\frac{1}{2}$y₀，
有x₀=x，y₀=2y，
因為點P在拋物線上，所以y₀²=32x，即4y²=32x，
所以y²=8x，所求點M軌跡方程為：y²=8x．
（Ⅱ）拋物線y²=8x的焦點坐標為（2，0），準線方程為x=-2，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵|AF|=2|BF|，∴x₁+1=2（x₂+1），∴x₁=2x₂+1
∵|y₁|=2|y₂|，∴x₁=4x₂，∴x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$，
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{5}{2}$+4=$\frac{13}{2}$．

點評 本題主要考查求軌跡方程的方法，考查學生分析解決問題的能力，利用拋物線的定義將到焦點的距離轉化為到準線的距離是關鍵，屬于中檔題．