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7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+13an=1(n∈N+).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=log4(1-Sn+1)(n∈N+),Tn=1b1b2+1b2b3++1bnbn+1,求使Tn5041009成立的最小的正整數(shù)n的值.

分析 (Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式計(jì)算即可得到所求;
(Ⅱ)運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可得bn,再由裂項(xiàng)相消求和方法,求得Tn,解不等式即可得到所求最小值.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1,S1+13a1=1,解得a1=34
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=1-13an-(1-13an-1),
即為an=14an-1,
由a1+a2+13a2=1,
可得a2=316,
則an=a2•(14n-2=316•(14n-2=3•(14n,對(duì)n=1也成立,
可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3•(14n;
(Ⅱ)bn=log4(1-Sn+1)=log4[1-34114n+1114]
=log414n+1=-(n+1),
Tn=1b1b2+1b2b3++1bnbn+1=12×3+13×4+…+1n+1n+2
=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2
Tn5041009成立,即為12-1n+25041009,
解得n≥2016,
則使Tn5041009成立的最小的正整數(shù)n的值為2016.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式,考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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