Question

16．過球O表面上一點A引三條長度相等的弦AB、AC、AD，且兩兩夾角都為60°，若球半徑為R，則弦AB的長度為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}R$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}R$
• C． R
• D． $\sqrt{6}R$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可知A-BCD是正四面體，設(shè)AB=a，結(jié)合球心為正四面體的中心通過求解直角三角形得答案．

解答 解：由條件可知A-BCD是正四面體，如圖：
A、B、C、D為球上四點，則球心O在正四面體中心，設(shè)AB=a，
則過點B、C、D的截面圓半徑$r={O_1}B=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
正四面體A-BCD的高$A{O_1}=\sqrt{{a^2}-{{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a）}^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，則截面BCD與球心的距離$d=O{O_1}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a-R$，
∴${（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a）^2}={R^2}-{（\frac{{\sqrt{6}}}{3}a-R）^2}$，解得$a=\frac{2\sqrt{6}}{3}R$．
故選：A．

點評 本題考查空間中點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．