Question

6．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，若A，B是該拋物線上的點(diǎn)，∠AFB=90°，線段AB中點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為N，則$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值為     （　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結(jié)合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值．

解答 解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為Q、P，連接AQ、BQ　　
由拋物線定義，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（$\frac{a+b}{2}$） ²=$\frac{1}{2}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）．
所以$\frac{|MN|}{|AB|}$≤$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{\frac{\sqrt{2}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題給出拋物線的弦AB對(duì)焦點(diǎn)F所張的角為直角，求AB中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．