Question

12．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，BC=4，AD=DC=2，E為PA的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上一點(diǎn)，且CF=1．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）證明：平面PAB⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （I）取PD的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，CM，證明四邊形EFCM是平行四邊形可得EF∥CM，故而EF∥平面PCD；
（II）取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)AN，則可證明AB⊥AC，結(jié)合AC⊥PA即可得出AC⊥平面PAB，于是平面PAB⊥平面PAC．

解答 證明：（I）取PD的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，CM，
∵E，M分別是PA，PD的中點(diǎn)，
∴EM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，又CF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
∴四邊形EFCM是平行四邊形，
∴EF∥CM，又EF?平面PCD，CM?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（II）取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)AN，則CN=BN=AN=2，
∴△ABN和△ACN均為等腰直角三角形，
∴∠BAN=∠CAN=45°，∴AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PA，
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB，又AC?平面PAC，
∴平面PAB⊥平面PAC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的判定，屬于中檔題．