Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）證明：曲線y=f（x）與曲線y=x-1有唯一公共點(diǎn)；
（2）若f（x）的反函數(shù)為g（x），設(shè)m＜n，比較$g（{\frac{m+n}{2}}）$與$\frac{g（n）-g（m）}{n-m}$的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)φ（x）=lnx-x+1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的零點(diǎn)即可；
（2）求出g（x）的解析式，通過(guò)作差法判斷即可．

解答 解：（1）曲線y=f（x）與曲線y=x-1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)φ（x）=lnx-x+1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
∵φ（1）=ln1-1+1=0，故φ（x）存在零點(diǎn)x=1，
又φ′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，（x＞0），可得：
0＜x＜1時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）遞增，
x＞1時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）遞減，
故x=1時(shí)，φ（x）有極大值也是最大值為φ（1）=0，
即φ（x）≤0恒成立，
故φ（x）存在唯一零點(diǎn)x=1，
∴曲線y=f（x）與曲線y=x-1有唯一公共點(diǎn)（1，0）；
（2）由題意得g（x）=e^x，
$\frac{g（n）-g（m）}{n-m}$-g（$\frac{m+n}{2}$）=$\frac{{e}^{n}{-e}^{m}}{n-m}$-${e}^{\frac{m+n}{2}}$=$\frac{{e}^{\frac{m+n}{2}}}{n-m}$[${e}^{\frac{n-m}{2}}$-${e}^{\frac{m-n}{2}}$-（n-m）]
設(shè)函數(shù)v（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$-2x，（x≥0），
v′（x）=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-2≥2$\sqrt{{e}^{x}•\frac{1}{{e}^{x}}}$-2=0，
故v′（x）≥0（僅當(dāng)x=0時(shí)“=”成立），因此v（x）遞增，
x＞0時(shí)，v（x）＞v（0）=0，
另x=$\frac{n-m}{2}$，
可得${e}^{\frac{n-m}{2}}$-${e}^{\frac{m-n}{2}}$-（n-m）＞0，
故$\frac{g（n）-g（m）}{n-m}$＞$g（{\frac{m+n}{2}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題以及代數(shù)式的大小比較，是一道中檔題．