Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow m=（a+b，sinA-sinC）$，向量$\overrightarrow n=（c，sinA-sinB）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．
（1）求角B的大��；
（2）設(shè)BC的中點為D，且AD=$\sqrt{3}$，求a+2c的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式建立方程關(guān)系，利用正弦定理，余弦定理即可求cos∠B的大小，結(jié)合其范圍即可得解B的值；
（2）設(shè)∠BAD=θ，則$θ∈（0，\frac{2π}{3}）$，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求$a+2c=2\sqrt{3}cosθ+6sinθ=4\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{6}）$，結(jié)合范圍$θ∈（0，\frac{2π}{3}）$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求a+2c的最大值．

解答 解：（1）因為$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，所以（a+b）（sinA-sinB）-c（sinA-sinC）=0．
由正弦定理可得（a+b）（a-b）-c（a-c）=0，即a²+c²-b²=ac．
由余弦定理可知$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$．
因為B∈（0，π），所以$B=\frac{π}{3}$．
（2）設(shè)∠BAD=θ，則在△BAD中，由$B=\frac{π}{3}$，可知$θ∈（0，\frac{2π}{3}）$．
由正弦定理及$AD=\sqrt{3}$，有$\frac{BD}{sinθ}=\frac{AB}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}=\frac{AD}{{sin\frac{π}{3}}}=2$，
所以$BD=2sinθ，AB=2sin（\frac{2π}{3}-θ）=\sqrt{3}cosθ+sinθ$，
所以$a=2BD=4sinθ，c=AB=\sqrt{3}cosθ+sinθ$，
從而$a+2c=2\sqrt{3}cosθ+6sinθ=4\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{6}）$，
由$θ∈（0，\frac{2π}{3}）$，可知$θ+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
所以當(dāng)$θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$時，a+2c取得最大值$4\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)公式，正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．