Question

13．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極坐標建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=2sinθ．
（I）寫出直線l和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若動點P在直線l上，Q在曲線C上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可化為直角坐標方程．
（II）設(shè)Q$（x，\frac{{x}^{2}}{2}）$，則點Q到直線l的距離d=$\frac{2（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}}{2\sqrt{2}}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最小值．

解答 解：（I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：x-y-1=0．
曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，∴直角坐標方程為：x²=2y．
（II）設(shè)Q$（x，\frac{{x}^{2}}{2}）$，則點Q到直線l的距離d=$\frac{|x-\frac{{x}^{2}}{2}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}}{2\sqrt{2}}$≥$\frac{15\sqrt{2}}{32}$．
∴當(dāng)取Q$（\frac{1}{4}，\frac{1}{32}）$時，|PQ|取得最小值$\frac{15\sqrt{2}}{32}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．