Question

11．為了判斷學(xué)生解幾何題和代數(shù)題能力是否與性別有關(guān)，線隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2聯(lián)列表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	總計(jì)
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計(jì)	30	20	50

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為解幾何題和代數(shù)題能力與性別有關(guān)？
（2）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為 X，求 X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
（3）經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
附表及公式
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件中所給的觀測值，同所給的臨界值進(jìn)行比較，根據(jù)4.844＞3.841，即可得到認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為5%．
（2）X可能取值為：0，1，2．求出概率，然后得到分布列，求出期望．
（3）利用幾何概型求解即可．

解答 解：（1）∵根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到X²的觀測值$\frac{50×（{22×12-8×8）}^{2}}{30×20×30×20}$≈5.56＞5.024，
∴有97.5%的把握認(rèn)為解幾何題和代數(shù)題能力與性別有關(guān)．
（2）由題意，可知在選擇做幾何題的8名女生中，任意抽取兩人，抽取方法有${C}_{8}^{2}$=28種，其中甲乙兩人，沒有一個(gè)人被抽到有：${C}_{6}^{2}$=15種，恰有一人被抽到有：${C}_{2}^{1}{C}_{6}^{1}$=12種．
兩人被抽到有：${C}_{2}^{2}$=1種．
又X可能取值為：0，1，2．
P（X=0）=$\frac{15}{28}$，
P（X=1）=$\frac{12}{28}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=2）=$\frac{1}{28}$，

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

∴E（X）=$0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．
（3）設(shè)甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間x，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間為y，
則基本事件滿足的區(qū)域：$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$，乙比甲先解答完滿足：x＞y．如圖：
∴由幾何概型：P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$．

乙比甲先解答完的概率：$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，分布列以及期望的求法，本題解題的關(guān)鍵是正確理解觀測值對應(yīng)的概率的意義．