Question

6．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（$\frac{π}{4}$+θ）=2$\sqrt{2}$
（1）將曲線C上各點的縱坐標伸長為原來的兩倍，得到曲線C₁，寫出曲線C₁的極坐標方程．
（2）若射線θ=$\frac{π}{6}$與l的交點分別為A，射線θ=-$\frac{π}{6}$與l的交點分別為B，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）設曲線C₁上的任意一點（x，y），則$（x，\frac{y}{2}）$在曲線C上，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，消去參數(shù)可得直角坐標方程，利用互化公式可得極坐標方程．
（2）射線θ=$\frac{π}{6}$與射線θ=-$\frac{π}{6}$分別代入直線l的極坐標方程可得ρ₁，ρ₂，利用△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$ρ₁•ρ₂sin$\frac{π}{3}$即可得出．

解答 解：（1）設曲線C₁上的任意一點（x，y），則$（x，\frac{y}{2}）$在曲線C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{\frac{y}{2}=sinθ}\end{array}\right.$，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，
消去參數(shù)可得直角坐標方程：x²+y²=4．
化為極坐標方程：ρ²=4，即ρ=2．
（2）射線θ=$\frac{π}{6}$代入直線l的極坐標方程ρsin（$\frac{π}{4}$+θ）=2$\sqrt{2}$，
可得ρ₁=$\frac{2\sqrt{2}}{sin（\frac{π}{6}+\frac{π}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$=4$（\sqrt{3}-1）$．
射線θ=-$\frac{π}{6}$代入直線l的極坐標方程為ρsin（$\frac{π}{4}$+θ）=2$\sqrt{2}$，
可得ρ₂=$\frac{2\sqrt{2}}{sin（\frac{π}{4}-\frac{π}{6}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$=4$（\sqrt{3}+1）$．
∠AOB=$\frac{π}{3}$．
∴△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$ρ₁•ρ₂sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×$4（\sqrt{3}-1）$×4（$\sqrt{3}$+1）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、坐標變換、參數(shù)方程化為普通方程及其應用、極坐標的應用、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．