Question

5．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）兩相鄰的零點之間的距離為$\frac{π}{2}$，將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后圖象對應的函數(shù)g（x）是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的對稱軸及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f （x）兩相鄰的零點之間的距離為$\frac{π}{2}$，求出ω，將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后圖象對應的函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，求出φ，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求函數(shù)f（x）的對稱軸及單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵f （x）兩相鄰的零點之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，故ω=2（2分）
∴g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）（4分）
∵g （x）是偶函數(shù)，且0＜φ＜π，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$（6分）
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）（8分）
（Ⅱ）對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$（10分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學生的計算能力，正確求出函數(shù)的解析式是關鍵．