Question

已知函數(shù)y=x²＋(2m＋1)x＋m²－1(m∈R).

(1)m為何值時(shí)，y的極小值是0？

(2)求證：不論m是什么數(shù)值，函數(shù)的圖象(即拋物線)的頂點(diǎn)都在同一條直線l₁上.

(3)平行于l₁的直線中，哪些與拋物線相交，哪些不相交？求證：任一條平行于l₁而與拋物線相交的直線，被各拋物線截出的線段都相等.

Answer 1

(1)解:用配方法得y=(x＋)²－，

∴y的極小值為－.

由－=0，得m=－,即當(dāng)m=－時(shí)，y的極小值是0.

(2)證明:函數(shù)圖象拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，－),

即(x、y為頂點(diǎn)的兩坐標(biāo))

兩式相減得x－y=，此即各拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，它的圖形是一條直線.方程中不含m，因此，不論m是什么值,拋物線的頂點(diǎn)都在這條直線l₁:x－y=上.

(3)設(shè)l:x－y=a為任一條平行于l₁的直線,

由

消去y，得x²＋2mx＋m²－1＋a=0，即(x＋m)²=1－a.

當(dāng)1－a≥0，即a≤1時(shí)，直線l與拋物線相交，而1－a＜0，即a＞1時(shí)，直線l與拋物線不相交.

若a≤1，則x=－m±,即x₁=－m－，x₂=－m＋.

∴x₂－x₁=2.

直線l被拋物線截得的線段AB的長為

|AB|=|x₂－x₁|=·2=2與m無關(guān).

因而直線l被各拋物線截出的線段都相等.