Question

6．如圖，在直角梯形ABCP中，$CP∥AB，CP⊥CB，AV=BC=\frac{1}{2}CP=2$，D是CP的中點，將△PAD沿AD折起，使得PD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD
（Ⅱ）若E在CP上且二面角E-BD-C所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求CE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出PD⊥AD，AD⊥CD，從而AD⊥平面PCD，由此能證明平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．
又由于CP∥AB，CP⊥AB，AB=BC，
∴ABCD為正方形，∴AD⊥CD．
又PD∩CD=D，故AD⊥平面PCD，
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）如圖，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，
設E（x，y，z），$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{CP}$，
則E（0，2-2λ，2λ），$\overrightarrow{DB}=（2，\;\;2，\;\;0）$，$\overrightarrow{DE}=（0，\;\;2-2λ，\;\;2λ）$，
平面DBE的法向量$\overrightarrow η=（λ，\;\;-λ，\;\;1-λ）$，
平面DBC的法向量為$\overrightarrow γ=（0，\;\;0，\;\;1）$，
∵二面角E-BD-C所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$\frac{|\overrightarrow η\;•\;\overrightarrow γ|}{|\overrightarrow η|×|\overrightarrow γ|}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$，此時$CE=\sqrt{2}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足二面角的余弦值的線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．