分析 (Ⅰ)推導出PD⊥AD,AD⊥CD,從而AD⊥平面PCD,由此能證明平面PAD⊥平面PCD.
(Ⅱ)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標系D-xyz,利用向量法能求出結(jié)果.
解答 證明:(Ⅰ)∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AD.
又由于CP∥AB,CP⊥AB,AB=BC,
∴ABCD為正方形,∴AD⊥CD.
又PD∩CD=D,故AD⊥平面PCD,
∵AD?平面PAD,∴平面PAD⊥平面PCD.
解:(Ⅱ)如圖,以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標系D-xyz,
設E(x,y,z),$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{CP}$,
則E(0,2-2λ,2λ),$\overrightarrow{DB}=(2,\;\;2,\;\;0)$,$\overrightarrow{DE}=(0,\;\;2-2λ,\;\;2λ)$,
平面DBE的法向量$\overrightarrow η=(λ,\;\;-λ,\;\;1-λ)$,
平面DBC的法向量為$\overrightarrow γ=(0,\;\;0,\;\;1)$,
∵二面角E-BD-C所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,∴$\frac{|\overrightarrow η\;•\;\overrightarrow γ|}{|\overrightarrow η|×|\overrightarrow γ|}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,
解得$λ=\frac{1}{2}$,此時$CE=\sqrt{2}$.
點評 本題考查面面垂直的證明,考查滿足二面角的余弦值的線段長的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方思想,是中檔題.
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A. | $4\sqrt{3}$ | B. | $4\sqrt{2}$ | C. | $2\sqrt{6}$ | D. | $2\sqrt{5}$ |
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A. | $\sqrt{2}$ | B. | 4 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2 |
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A. | $\frac{5}{2}$ | B. | $\frac{8}{3}$ | C. | $2\sqrt{5}-2$ | D. | 3 |
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