Question

11．設(shè)計人員要用10米長的材料（材料的寬度不計）建造一個窗子的邊框，如圖所示，窗子是由一個矩形ABCD和以AD為直徑的半圓組成，窗子的邊框不包括矩形的AD邊，設(shè)半圓的半徑為OA=r（米），窗子的透光面積為S（平方米）．
（1）r為何值時，S有最大值？
（2）窗子的半圓部分采用彩色玻璃，每平方米造價為300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造價為100元，r=1時，900元的造價夠用嗎？說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)半圓的半徑為OA=r（米），可得矩形的寬為2r，半圓的弧長為πr，可得矩形的高為$\frac{1}{2}$（10-2r-πr），運用半圓的面積和矩形的面積，即可所求透光面積S的解析式，由二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求r；
（2）由r=1，分別求出窗子的半圓部分的造價和窗子的矩形部分的造價，求和，即可判斷是否夠用．

解答 解：（1）設(shè)半圓的半徑為OA=r（米），
可得矩形的寬為2r，半圓的弧長為πr，
可得矩形的高為$\frac{1}{2}$（10-2r-πr），
窗子的透光面積為S=$\frac{1}{2}$πr²+$\frac{1}{2}$（10-2r-πr）•2r
=（-2-$\frac{1}{2}$π）r²+10r，（0＜r＜$\frac{10}{2+π}$），
當(dāng)r=-$\frac{10}{2（-2-\frac{1}{2}π）}$=$\frac{10}{4+π}$（米），S有最大值；
（2）由題意可得r=1時，窗子的半圓部分的造價為$\frac{1}{2}$π•1²•300=150π（元），
窗子的矩形部分的造價為2•$\frac{1}{2}$（10-2-π）•100=800-100π（元），
可得總造價為150π+800-100π=800+50π＞900，
則r=1時，900元的造價不夠用．

點評 本題考查函數(shù)在實際問題中的運用，考查二次函數(shù)的最值的求法，注意運用二次函數(shù)的性質(zhì)，同時考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．