Question

20．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱AA₁，B₁C₁，C₁D₁，DD₁的中點(diǎn)，則GH與平面EFH所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 C₁H，過(guò)G作GM⊥C₁H于M，則∠GHC₁即為GH與平面EFH所成的角，在△C₁GH利用余弦定理求出cos∠GHC₁．

解答 解：連結(jié)EB₁，C₁H，則平面EFH即為平面EHC₁B₁，
過(guò)G作GM⊥C₁H于M，則MG⊥平面EFH，
∴∠GHC₁即為GH與平面EFH所成的角，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則C₁G=1，GH=$\sqrt{2}$，C₁H=$\sqrt{5}$，
∴cos∠GHC₁=$\frac{G{H}^{2}+{C}_{1}{H}^{2}-{C}_{1}{G}^{2}}{2GH•{C}_{1}H}$=$\frac{2+5-1}{2×\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面所成角的求解，屬于中檔題．