Question

【題目】一些選手參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中有些選手互相認(rèn)識(shí)，有些選手互相不認(rèn)識(shí)，而任何兩個(gè)不相識(shí)的選手都恰有兩個(gè)共同的熟人．若與認(rèn)識(shí)，但沒(méi)有共同的熟人，求證：、認(rèn)識(shí)的熟人一樣多．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

用點(diǎn)表示人，兩人互相認(rèn)識(shí)就在相應(yīng)兩點(diǎn)間連一條線(xiàn)段，依題意間有連線(xiàn)（如圖）．

由于、沒(méi)有共同的熟人，故凡認(rèn)識(shí)的人就不認(rèn)識(shí)，凡認(rèn)識(shí)的人就不認(rèn)識(shí)．

現(xiàn)設(shè)，，…，與認(rèn)識(shí)，，，…，與認(rèn)識(shí)，由于任一與不認(rèn)識(shí)，而任何兩個(gè)不相識(shí)的選手都恰有兩個(gè)共同的熟人，故與有且僅有一個(gè)共同的熟人．

反之，每一個(gè)與有且僅有一個(gè)共同的熟人．

亦即每一必與某一有連線(xiàn)，每一也必與某一有連線(xiàn)．

現(xiàn)設(shè)與認(rèn)識(shí)，與認(rèn)識(shí)，下面證明與不相同時(shí)，與也不相同．

若不然，與重合，則、與均有連線(xiàn)，從而互不認(rèn)識(shí)的，共同認(rèn)識(shí)3個(gè)人，，（如圖），與已知條件“恰有兩個(gè)共同的熟人”矛盾，可見(jiàn)，．

同理，，不相同時(shí)，其對(duì)應(yīng)的，也不相同，又得．

從而．這表明、認(rèn)識(shí)的熟人一樣多．