Question

已知數(shù)列{a_n}  和 {b_n}中，a₁=t（t＞0），a₂=t²．當x=時，函數(shù)f（x）=-（a_n-a_n+1）x（n≥2）取得極值．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項公式．
（2）若點P_n（1，b_n）．過函數(shù)g（x）=ln（1+x²）圖象上的點（a_n，g（a_n））的切線始終與OP_n平行（O是坐標原點）．求證：當＜t＜2時，不等式對任意n∈N^*都成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)極值的定義，探求數(shù)列{a_n} 相鄰兩項之間的關系，進行變形，整理，確定出相關數(shù)列為特殊數(shù)列，從而達到求解的目的；
（2）利用導數(shù)的幾何意義，求出b_n，利用放縮法將轉(zhuǎn)化，使之進一步作為橋梁溝通與的聯(lián)系．
解答：解：（1）f′（x）=（a_n-1-a_n）x²-（a_n-a_n+1）
當x=時，函數(shù)f（x）取得極值，則f′（）=0，
代入整理得，a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）  （n≥2）
又t＞0，∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為 a₂-a₁=t²-t，公比為t的等比數(shù)列．
∴a_n+1-a_n=（t²-t）•t^n-1=tⁿ⁺¹-tⁿ
當n≥2時，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（tⁿ-t^n-1）+（t^n-1-t^n-2）+…+（t²-t¹）+t=tⁿ
當t=1時符合，∴數(shù)列{a_n} 的通項公式a_n=tⁿ．
（2）g′（x）=[ln（1+x²）]′=
過函數(shù)g（x）圖象上的點（a_n，g（a_n））的切線的斜率k₁=g′（a_n）==b_n．
∴=
因為 ＜t＜2，所以（2t）ⁿ＞1，tⁿ＜2ⁿ．
則（2ⁿ+2^-n）-（tⁿ+t^-n）=（2ⁿ-tⁿ）[（2t）ⁿ-1]＞0，
有 ＜（2ⁿ+2^-n），
故 ++…+＜[（2+）+（2²+）+…+（2ⁿ+）]=2ⁿ-（1+），
∵1+＞2
∴++…+＜2ⁿ-=2ⁿ-即證．
點評：本題是函數(shù)、數(shù)列，不等式的綜合．本題主要運用了函數(shù)的極值，均值不等式，等比數(shù)列的通項公式，累和法數(shù)列求和．是基礎知識、基本方法的綜合考查．要求具有一定的分析解決問題，計算，化簡的能力．