Question

8．若函數(shù)f（x）是定義域D內(nèi)的某個區(qū)間I上的增函數(shù)，且$F（x）=\frac{f（x）}{x}$在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）是I上的“單反減函數(shù)”，已知$f（x）=lnx，g（x）=2x+\frac{2}{x}+alnx（a∈R）$
（1）判斷f（x）在（0，1]上是否是“單反減函數(shù)”；
（2）若g（x）是[1，+∞）上的“單反減函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；
（2）求出a的范圍，問題轉(zhuǎn)化為ax-axlnx-4≤0在[1，+∞）恒成立，令p（x）=ax-axlnx-4，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的具體范圍即可．

解答 解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函數(shù)，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$，
∵F′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，∴當(dāng)x∈（0，1]時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)，
∴f（x）在（0，1]上不是“單反減函數(shù)”；…（6分）
（2）∵g（x）=2x+$\frac{2}{x}$+alnx，
∴g′（x）=2-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+ax-2}{{x}^{2}}$，…（8分）
∵g（x）是[1，+∞）上的“單反減函數(shù)”，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g′（1）≥0，∴a≥0，…（9分）
又G（x）=$\frac{g（x）}{x}$=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{alnx}{x}$在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即-$\frac{4}{{x}^{3}}$+$\frac{a（1-lnx）}{{x}^{2}}$≤0在[1，+∞）恒成立，
即ax-axlnx-4≤0在[1，+∞）恒成立，…（11分）
令p（x）=ax-axlnx-4則p′（x）=-alnx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{p（1）≤0}\end{array}\right.$，解得0≤a≤4，
綜上所述0≤a≤4…（14分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．