Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（）若在為增函數(shù)，試求實數(shù)的取值范圍．

（）當(dāng)，若存在，使成立，試確定實數(shù)的取值范圍．

（）設(shè)函數(shù)，求證：

（i）．

（ii）， ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（i）證明見解析，（ii）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）在為增函數(shù)，等價于在上恒成立，只需的最大值即可得到實數(shù)的取值范圍；（2）存在，使得，等價于存在， 成立，設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求最值即可得結(jié)果；（3）（i），利用基本不等式及放縮法可得結(jié)論；由（i）可得： ， ， ，各式相乘即可得結(jié)論.

試題解析：（ ）由，得，

∵在為增函數(shù)，

∴在上恒成立，

即恒成立，

∵當(dāng)時， ，

∴，

即實數(shù)的取值范圍是．

（）由題意，存在，使得，

等價于存在， 成立，

設(shè)，則，

，

令得，令，得，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴在上的最小值是，

∴，即實數(shù)的取值范圍是．

（）證明：由題意，

（i）

∴．

（ii）由（i）可得： ， ， ，

以上式子相乘可得故， ．