Question

18．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）寫出函數(shù)f（x）的解析式及x₀的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （I）由函數(shù)圖象可知A，T=π，利用周期公式可求ω，又函數(shù)過點(diǎn)（$\frac{13π}{12}$，2），結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ，可求函數(shù)解析式，由函數(shù)圖象可得2sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$，可解得x₀=kπ-$\frac{π}{24}$，k∈Z，又結(jié)合范圍$\frac{13π}{12}$-$\frac{π}{4}$＜x₀＜$\frac{13π}{12}$，從而可求x₀的值．
（II）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，可求范圍2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求其最值．

解答 （本小題滿分13分）
解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函數(shù)圖象可知，A=2，T=$\frac{2π}{ω}$=2[x₀-（x₀-$\frac{π}{2}$）]=π，解得ω=2，
又∵函數(shù)過點(diǎn)（$\frac{13π}{12}$，2），可得：2=2sin（2×$\frac{13π}{12}$+φ），解得：2×$\frac{13π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴可得：φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵由函數(shù)圖象可得：2sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$，解得：2x₀+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，可得：x₀=kπ-$\frac{π}{24}$，k∈Z，
又∵$\frac{13π}{12}$-$\frac{π}{4}$＜x₀＜$\frac{13π}{12}$，
∴x₀=$\frac{23π}{24}$，…（7分）
（II）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，…（9分）
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$時(shí)，即x=-$\frac{π}{4}$，f（x）_min=f（-$\frac{π}{4}$）=-1，
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，即x=$\frac{π}{12}$，f（x）_max=f（$\frac{π}{12}$）=2．      …（13分）

點(diǎn)評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．