分析 (1)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩角和差的三角公式,求得tanA•tanB的值.
(2)利用誘導(dǎo)公式、余弦定理、基本不等式求得tan(A+B)的最小值,可得$\frac{{2{S_{△ABC}}}}{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}$=$\frac{1}{2}$tanC的最大值.
解答 解:(1)由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\frac{9}{8}$得,$\frac{5}{8}[{1-cos({A+B})}]+{cos^2}({\frac{A-B}{2}})=\frac{9}{8}$,
即4cos(A-B)=5cos(A+B),解得,$tanA•tanB=\frac{1}{9}$.
(2)因?yàn)?\frac{{2{S_{△ABC}}}}{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}$=$\frac{absinC}{2abcosC}=\frac{1}{2}tanC$,
又$tan({A+B})=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{9}{8}({tanA+tanB})$$≥\frac{9}{8}×2\sqrt{tanA•tanB}=\frac{3}{4}$,
所以,tan(A+B)有最小值$\frac{3}{4}$,當(dāng)且僅當(dāng)$tanA=tanB=\frac{1}{3}$時(shí),取得最小值.
又tanC=-tan(A+B),則tanC有最大值$-\frac{3}{4}$,故$\frac{{2{S_{△ABC}}}}{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}$的最大值為$-\frac{3}{8}$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩角和差的三角公式,誘導(dǎo)公式、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 在(0,10)上是增函數(shù) | |
B. | 在(0,10)上是減函數(shù) | |
C. | 在(0,e)上是增函數(shù),在(e,10)上是減函數(shù) | |
D. | 在(0,e)上是減函數(shù),在(e,10)上是增函數(shù) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $2\sqrt{2}$ | B. | $2\sqrt{3}$ | C. | $3\sqrt{2}$ | D. | $3\sqrt{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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