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5.已知橢圓的一個頂點為A(0,-1),焦點在x軸上,若右焦點到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3
(1)求橢圓的方程
(2)設橢圓與直線y=x+m相交于不同的兩點M,N,求m的取值范圍.

分析 (1)設橢圓方程,利用點到直線的距離公式,求得a的值,求得橢圓方程;
(2)將直線方程代入橢圓方程,由△>0,即可求得m的取值范圍.

解答 解:(1)由題意可知:設橢圓的方程:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),右焦點F(c,0),c>0,
由$\frac{丨c+2\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+(-1)^{2}}}$=3,則c=$\sqrt{2}$,
b=1,a2=b2+c2=3,
∴橢圓的標準方程為:$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$;
(2)$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,消去y可得4x2+6mx+3(m2-1)=0,
∵直線與橢圓相交,則△=(6m)2-12×4(m2-1)>0,整理得:m2<4,
解得:-2<m<2,
∴m的取值范圍(-2,2).

點評 本題考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系,考查點到直線的距離公式,屬于中檔題.

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