Question

平面直角坐標(biāo)系中有A（3，4），B（0，1），C（3，-2），D（3-2

2

，0）四點(diǎn)，
（1）試說(shuō)明四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，并給出圓的方程；
（2）若（1）中的圓與直線x-y+a=0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用待定系數(shù)法，則圓的方程可求；
（2）聯(lián)立圓C與直線x-y+a=0，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用x₁x₂+y₁y₂=0求解a的值．

解答： 解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C的圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，則
（3-a）²+（4-b）²=（0-a）²+（1-b）²=（3-a）²+（-2-b）²=r²，
所以a=3，b=1，r=3．
所以，圓C方程為（x-3）²+（y-1）²=9，D也滿足方程；
（2）設(shè)坐標(biāo)：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B同時(shí)滿足直線x-y+a=0和圓（x-3）²+（y-1）²=9
聯(lián)立方程組把y消去，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0
由已知有A、B兩個(gè)交點(diǎn)，即方程兩個(gè)解，則△=56-16a-4a²＞0，
因此有x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

a2-2a+1

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①
由OA⊥OB可知，x₁x₂+y₁y₂=0，且y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
即2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0②
把②代入①解得a=-1，將其代入△=56-16a-4a²進(jìn)行檢驗(yàn)，
△=56+16-4=68＞0，即符合．所以a=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了直線與圓相交的性質(zhì)，考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．