Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，使得f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．若f（x）=2^x+m是定義在區(qū)間[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用局部奇函數(shù)的定義，建立方程關(guān)系，然后判斷方程是否有解即可．

解答： 解：根據(jù)局部奇函數(shù)的定義，f（x）=2^x+m時(shí)，f（-x）=-f（x）可化為2^x+2^-x+2m=0，
因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，
令t=2^x∈[

1

2

，2]，則-2m=t+

1

t

，
設(shè)g（t）=t+

1

t

，則g'（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

，
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上為減函數(shù)，
當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
所以t∈[

1

2

，2]時(shí)，g（t）∈[2，

5

2

]．所以-2m∈[2，

5

2

]，即m∈[-

5

4

，-1]．
故答案為：[-

5

4

，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義的應(yīng)用，利用新定義，建立方程關(guān)系，然后利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力