Question

15．為倡導(dǎo)節(jié)約用電，某地采用了階梯電價計費方法，具體為：每戶每月用電量不超過a度的每度0.6元；每戶每月用電量超過a度而不超過（a+120）度的，超出a度的部分每度0.65元；每戶每月電量超過（a+120）度的，超出（a+120）度的部分每度0.80元．
（1）寫出每戶每月用電量x度與支付費y元的函數(shù)關(guān)系；
（2）調(diào)查了該地120戶家庭去年的月平均用電量，結(jié)果如下表：

月平均用電量x（度）	90	140	200	260	320
頻數(shù)	10	30	30	30	20

這120戶的月平均用電量的各頻率視為該地每戶月平均用電量的概率，若取a=1 80，用Y表示該地每戶的月平均用電費用，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望（精確到元）
（3）今年用電形勢嚴峻，該地政府決定適當(dāng)下調(diào)a的值（170＜a＜180），小明家響應(yīng)政府號召節(jié)約用電，預(yù)計他家今年的月平均電費為l15.2元，并且他家的月平均用電量X的分布列為：

月用電量X（度）	160	300	180
p	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

請你求出今年調(diào)整的a值．

Answer 1

分析 （1）由階梯電價計費方法，能求出每戶每月用電量x度與支付費y元的函數(shù)關(guān)系．
（2）當(dāng)a=180時，y=$\left\{\begin{array}{l}{0.6x，0≤x≤180}\\{0.65x-9，180＜x≤180}\\{0.8x-54，x＞300}\end{array}\right.$，分別求出P（Y=54）=P（X=90）=$\frac{1}{12}$，P（Y=84）=P（X=140）=$\frac{1}{4}$，P（Y=121）=P（X=200）=$\frac{1}{4}$，P（Y=160）=P（X=260）=$\frac{1}{4}$，P（Y=202）=P（X=320）=$\frac{1}{6}$，由此能求出Y的分布列和E（Y）．
（3）依題意，利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，能求出今年調(diào)整的a值．

解答 解：（1）∵階梯電價計費方法，具體為：每戶每月用電量不超過a度的每度0.6元，
每戶每月用電量超過a度而不超過（a+120）度的，超出a度的部分每度0.65元，
每戶每月電量超過（a+120）度的，超出（a+120）度的部分每度0.80元．
∴每戶每月用電量x度與支付費y元的函數(shù)關(guān)系為：
$y=\left\{\begin{array}{l}{0.6x，0≤x≤a}\\{0.65x-0.05a，a＜x≤a+120}\\{0.8x-0.2a-18，x＞a+120}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)a=180時，y=$\left\{\begin{array}{l}{0.6x，0≤x≤180}\\{0.65x-9，180＜x≤180}\\{0.8x-54，x＞300}\end{array}\right.$，
∴P（Y=54）=P（X=90）=$\frac{1}{12}$，
P（Y=84）=P（X=140）=$\frac{1}{4}$，
P（Y=121）=P（X=200）=$\frac{1}{4}$，
P（Y=160）=P（X=260）=$\frac{1}{4}$，
P（Y=202）=P（X=320）=$\frac{1}{6}$，
∴Y的分布列為：

Y	54	84	121	160	202
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$

E（Y）=$54×\frac{1}{12}+84×\frac{1}{4}+121×\frac{1}{4}+160×\frac{1}{4}$+202×$\frac{1}{6}$≈129（元）．
（3）依題意，得：
$\frac{1}{2}×0.6×160+\frac{1}{3}（0.65×180-0.05a）$+$\frac{1}{6}（0.8×300-0.2a-18）$=115.2，
解得a=176．
∴今年調(diào)整的a值為176．

點評 本題考查函數(shù)關(guān)系式的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．