Question

將函數(shù)f(x)=sin

3

4

xsin

3

4

(x+2π)sin

3

2

(x+3π)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數(shù)的誘導公式及二倍角公式化簡函數(shù)f（x），令3x=kπ+

π

2

的極值點，判斷出全部極值點按從小到大排列構(gòu)成以

π

6

為首項，

π

3

為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式求出通項．
（2）利用b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求出b_n+1作商，利用等比數(shù)列的定義判斷出{b_n}是以

1

4

為首項，-1為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求出通項，進一步求出數(shù)列{a_n•b_n}的通項，利用錯位相減法求出前n項的和．

解答：解：（1）∵f(x)=sin

3

4

x•sin(

3

4

x+

3

2

π)•sin(

3

2

x+

9

2

π) 
=sin

3

4

x•(-cos

3

4

x)•cos

3

2

x=-

1

2

sin

3

2

x•cos

3

2

x=-

1

4

sin3x．
令3x=kπ+

π

2

解得x=

kπ

3

+

π

6

，k∈Z，
所以f（x）的極值點為x=

kπ

3

+

π

6

，k∈Z，
從而它在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點按從小到大排列構(gòu)成以

π

6

為首項，

π

3

為公差的等差數(shù)列，
∴an=

π

6

+(n-1)•

π

3

=

2n-1

6

π．
（2）由an=

2n-1

6

π知對任意正整數(shù)n，a_n都不是π的整數(shù)倍，
所以sina_n≠0，
從而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0，
于是

bn+1

bn

=

sinan+1sinan+2sinan+3

sinansinan+1sinan+2

=

sinan+3

sinan

=

sin(an+π)

sinan

=-1，b1=sin

π

6

•sin

π

2

•sin

5π

6

=

1

4

，
∴{b_n}是以

1

4

為首項，-1為公比的等比數(shù)列，
∴bn=

(-1)n-1

4

．
∴an•bn=

π

24

•(-1)n-1(2n-1)，
Sn=

π

24

(1×1+3×(-1)+5×1+…(2n-1)•（-1）^n-1）
所以-Sn=

π

24

(×(-1)+3×1+…(2n-3)•(-1)n-1+•（2n-1）（-1）ⁿ）
兩式相減得，
數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和為Sn=

nπ

24

•(-1)n-1．

點評：求一個數(shù)列的前n項和的方法應該先求出數(shù)列的通項，然后按照通項的特點選擇合適的求和方法．