Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{x}$-a（x-lnx）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，試求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，試求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在（0，1）內(nèi)有極值，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f′（1），f（1），代入直線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為即y=e^x和y=ax在（0，1）上有交點(diǎn)，結(jié)合圖象求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，${f^/}（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}-1+\frac{1}{x}$，
f′（1）=0，f（1）=e-1．
∴方程為y=e-1． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}-a（1-\frac{1}{x}）$
=$\frac{{{e^x}（x-1）-ax（x-1）}}{x^2}$
=$\frac{{（{e^x}-ax）（x-1）}}{x^2}$．
當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)于?x∈（0，+∞），e^x-ax＞0恒成立，
令f′（x）＞0⇒x＞1，令f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（Ⅲ）若f（x）在（0，1）內(nèi)有極值，
則f′（x）=$\frac{{（e}^{x}-ax）（x-1）}{{x}^{2}}$=0在（0，1）內(nèi)有解，
∴e^x-ax=0在（0，1）內(nèi)有解，即y=e^x和y=ax在（0，1）上有交點(diǎn)，
如圖示：
，
x=1時(shí)，y=e^x=e，故a＞e或a＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求曲線的切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．