Question

若函數(shù)f（x）的圖象上存在不同兩點A，B，設線段AB的中點為M（x₀，y₀），使得f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線l與直線AB平行或重合，則稱切線l為函數(shù)f（x）的“平衡切線”．則函數(shù)f（x）=2aln（x+1）+x²-2x的“平衡切線”的條數(shù)為（　�。�

• A、2條或無數(shù)條
• B、1條或無數(shù)條
• C、0條或無數(shù)條
• D、2條或0條

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：分情況討論：①當a=0時，②當a≠0時的情況，從而得出答案．

解答： 解：①當a=0時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₂＞x₁），
AB中點坐標為：（x₀，y₀），
∴2x₀=x₁+x₂，
∴K_AB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(x2+x1)(x2-x1)-2(x2-x1)

x2-x1

，
∴x₂+x₁-2=2x₀-2，
又∵f′（x₀）=2x₀-2，
∴切線l為f（x）平衡切線，且有無數(shù)條；
②當a≠0時，K_AB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

2aln( x2+1 x1+1 )

x2-x1

+2x₀-2，
f′（x₀）=

2a

x0+1

+2x₀-2，
令f′（x₀）=K_AB，則

x2-x1

x0+1

=ln（

x2+1

x1+1

）（*），
設x₀到x₁，x₂的距離都為d，
則（*）式化為：

2d

x0+1

=ln（

x0+d+1

x0-d+1

），
（x₀＞-1）且x₀＞d-1，
∴

2d

x0+1

＜

2d

d-1+1

=2，
又∵

2d

x0+1

＞

2(x0+1)

x0+1

=2，
因此，前后矛盾，不存在這樣的x₀ 和d，
故選：C．

點評：本題考查了新定義問題，考查了導數(shù)的應用，考查了分類討論思想，是一道綜合題．