Question

15．已知△PDQ中，A，B分別為邊PQ上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BD為底邊PQ上的高，AE∥DB，如圖1，將△PDQ分別沿AE，DB折起，使得P，Q重合于點(diǎn)C．AB中點(diǎn)為M，如圖2．
（Ⅰ）求證：CM⊥EM；
（Ⅱ）若直線DM與平面ABC所成角的正切值為2，求二面角B-CD-E的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出△ABC是等邊三角形，從而CM⊥AB，再由DB⊥AB，DB⊥BC，知DB⊥平面ABC，又EA∥DB，從而EA⊥平面ABC，進(jìn)而CM⊥EA．由此CM⊥平面EAM．進(jìn)而能證明CM⊥EM．
（Ⅱ）以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MC所在直線為x軸，MB所在直線為y軸，過M且與直線BD平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz．利用向量法能求出二面角B-CD-E的平面角．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)锳，B是PQ的三等分點(diǎn)，
所以PA=AB=BQ=CA=CB，
所以△ABC是等邊三角形，又因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以CM⊥AB．
因?yàn)镈B⊥AB，DB⊥BC，AB∩BC=B，
所以DB⊥平面ABC，又EA∥DB，
所以EA⊥平面ABC，
CM?平面ABC，所以CM⊥EA．
因?yàn)锳M∩EA=A，所以CM⊥平面EAM．
因?yàn)镋A?平面EAM，所以CM⊥EM．
解：（Ⅱ）以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MC所在直線為x軸，MB所在直線為y軸，
過M且與直線BD平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz．
因?yàn)镈B⊥平面ABC，
所以∠DMB為直線DM與平面ABC所成角．
由題意得tan$∠DMB=\frac{BD}{MB}=2$，即BD=2MB，
從而BD=AC．不防設(shè)AC=2，又AC+2AE，則CM=$\sqrt{3}$，AE=1．
故B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1）．
于是$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CE}$=（-$\sqrt{3}，-1，1$），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
設(shè)平面BCD與平面CDE的法向量分別為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=3x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=2z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-\sqrt{3}a-b+c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-\sqrt{3}a+b+2c=0}\end{array}\right.$，令a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=0．
所以二面角B-CD-E的平面角大小為90°．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查空間思維能力，是中檔題．