Question

15．已知復數(shù)z₁滿足（z₁-2）（1+i）=1-i（i為虛數(shù)單位），復數(shù)z₂的虛部為2，且z₁•z₂是實數(shù)．
（1）求z₁及$\overline{z_1}$；
（2）求z₂及|z₁+z₂|．

Answer 1

分析 （1）把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得復數(shù)z₁，則$\overline{z_1}$可求；
（2）設z₂=a+2i，a∈R，把z₁，z₂代入z₁•z₂化簡，再結合已知條件看求出a的值，則z₂可求，然后根據(jù)復數(shù)求模公式計算得答案．

解答 解：（1）由（z₁-2）（1+i）=1-i，
得${z}_{1}=\frac{1-i}{1+i}+2=\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}+2=2-i$．
則$\overline{{z}_{1}}=2+i$．
（2）設z₂=a+2i，a∈R，則z₁•z₂=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i．
∵z₁•z₂∈R，∴a=4．
∴z₂=4+2i．$|{{z_1}+{z_2}}|=|{6+i}|=\sqrt{37}$．

點評 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念以及復數(shù)模的求法，是基礎題．