Question

4．設函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤a}\\{-2x，x＞a}\end{array}\right.$．
①若a=0，則f（x）的最大值為2；
②若f（x）無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 ①將a=0代入，求出函數(shù)的導數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得當x=-1時，f（x）的最大值為2；
②若f（x）無最大值，則$\left\{\begin{array}{l}a≤-1\\-2a＞{a}^{3}-3a\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＞-1\\-2a＞{a}^{3}-3a\\-2a＞2\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：①若a=0，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{3}-3x，x≤0\\-2x，x＞0\end{array}\right.$，
則f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x}^{2}-3，x≤0\\-2，x＞0\end{array}\right.$，
當x＜-1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)為增函數(shù)，
當x＞-1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)為減函數(shù)，
故當x=-1時，f（x）的最大值為2；
②f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x}^{2}-3，x≤a\\-2，x＞a\end{array}\right.$，
令f′（x）=0，則x=±1，
若f（x）無最大值，則$\left\{\begin{array}{l}a≤-1\\-2a＞{a}^{3}-3a\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＞-1\\-2a＞{a}^{3}-3a\\-2a＞2\end{array}\right.$，
解得：a∈（-∞，-1）．
故答案為：2，（-∞，-1）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，函數(shù)的最值，分類討論思想，難度中檔．