Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（I）當(dāng)a=4時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（II）若當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)a=4時，求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率，即可求出切線方程；
（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2-a，再結(jié)合條件，分類討論，即可求a的取值范圍．

解答 解：（I）當(dāng)a=4時，f（x）=（x+1）lnx-4（x-1）．
f（1）=0，即點為（1，0），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=lnx+（x+1）•$\frac{1}{x}$-4，
則f′（1）=ln1+2-4=2-4=-2，
即函數(shù)的切線斜率k=f′（1）=-2，
則曲線y=f（x）在（1，0）處的切線方程為y=-2（x-1）=-2x+2；
（II）∵f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），
∴f′（x）=1+$\frac{1}{x}$+lnx-a，
∴f″（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∵x＞1，∴f″（x）＞0，
∴f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）＞f′（1）=2-a．
①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（1）=0，滿足題意；
②a＞2，存在x₀∈（1，+∞），f′（x₀）=0，函數(shù)f（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
由f（1）=0，可得存在x₀∈（1，+∞），f（x₀）＜0，不合題意．
綜上所述，a≤2．

點評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查參數(shù)范圍的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．