Question

20．在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x+6）²+y²=25．
（Ⅰ）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；
（Ⅱ）直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數），l與C交與A，B兩點，|AB|=$\sqrt{10}$，求l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把圓C的標準方程化為一般方程，由此利用ρ²=x²+y²，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圓C的極坐標方程．
（Ⅱ）由直線l的參數方程求出直線l的一般方程，再求出圓心到直線距離，由此能求出直線l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C的方程為（x+6）²+y²=25，
∴x²+y²+12x+11=0，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的極坐標方程為ρ²+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數），
∴t=$\frac{x}{cosα}$，代入y=tsinα，得：直線l的一般方程y=tanα•x，
∵l與C交與A，B兩點，|AB|=$\sqrt{10}$，圓C的圓心C（-6，0），半徑r=5，
圓心到直線的距離d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$．
∴圓心C（-6，0）到直線距離d=$\frac{|-6tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$=$\sqrt{25-\frac{10}{4}}$，
解得tan²α=$\frac{5}{3}$，∴tanα=±$\sqrt{\frac{5}{3}}$=±$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
∴l(xiāng)的斜率k=±$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點評 本題考查圓的極坐標方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線公式、圓的性質的合理運用．