Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x，x，y滿足條件

f(x)≤f(y) 1 2 ≥y≥0

，若目標函數(shù)z=ax+y（其中a為常數(shù)）僅在（

1

2

，

1

2

）處取得最大值，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應用

分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用目點（4，0）為目標函數(shù)z=ax-2y取得最大值時的唯一最優(yōu)解，討論目標函數(shù)的斜率滿足的條件，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：

f(x)≤f(y) 1 2 ≥y≥0

化為：

x2-x≤y2-y 1 2 ≥y≥0

，即

|x- 1 2 |≤|y- 1 2 | 1 2 ≥y≥0

作出不等式組

|x- 1 2 |≤|y- 1 2 | 1 2 ≥y≥0

，
對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分），目標函數(shù)z=ax+y（其中a為常數(shù)）僅在（

1

2

，

1

2

）處取得最大值，
目標函數(shù)y=-ax+z，的斜率為-a，∴a∈（-1，1）
故答案為：（-1，1），

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．