Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{1}{2}$．設(shè)過(guò)點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，$△ABF_1^{\;}$周長(zhǎng)為8．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)T（4，0），證明：當(dāng)直線l變化時(shí)，總有TA與TB的斜率之和為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△MNF₁的周長(zhǎng)為8，得4a=8，由e=$\frac{1}{2}$，求出c，可求得b；即可求解橢圓方程．
（Ⅱ）分類討論，當(dāng)直線l不垂直與x軸時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得k_TA+k_TB=0，即可證明直線TA與TB的斜率之和為定值．

解答 解：（I）由題意知，4a=8，所以a=2．
因?yàn)閑=$\frac{1}{2}$，所以c=1，則b=$\sqrt{3}$．
所以橢圓C的方程為 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l垂直與x軸時(shí)，顯然直線TS與TR的斜率之和為0，
當(dāng)直線l不垂直與x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²x+4k²-12=0，
△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）=k²+1＞0恒成立，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由k_TA+k_TB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$
=$\frac{k[2{x}_{1}{x}_{2}-5（{x}_{1}+{x}_{2}）+8]}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$，TA，TB的斜率存在，
由A，B兩點(diǎn)的直線y=k（x-1），
故y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
由2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8=$\frac{8{k}^{2}-24-40{k}^{2}+8（3+4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=0，
∴k_TA+k_TB=0，
∴直線TA與TB的斜率之和為0，
綜上所述，直線TA與TB的斜率之和為定值，定值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．