Question

15．某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)資料：

日期	1月10日	2月10日	3月10日	4月10日	5月10日	6月10日
晝夜溫差x（℃）	10	11	13	12	8	6
就診人數(shù)y（個）	22	25	29	26	16	12

該興趣小組確定的研究方案是：先從這6組（每個有序數(shù)對（x，y）叫作一組）數(shù)據(jù)中隨機選取2組作為檢驗數(shù)據(jù)，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程．
（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好來自相鄰兩個月的概率；
（2）若選取的是1月和6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選取的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問（2）中所得到的線性回歸方程是否是理想的？
參考公式：$\left\{\begin{array}{l}{\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有C₆²種情況，滿足條件的事件是抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)的情況有5種，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果．
（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，求出x，y的平均數(shù)，根據(jù)求線性回歸方程系數(shù)的方法，求出系數(shù)$\widehat$，把$\widehat$和x，y的平均數(shù)，代入求$\widehat{a}$的公式，求出值，寫出線性回歸方程；
（3）將x的值代入回歸方程檢驗即可．

解答 解：（1）設(shè)選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月為事件A，
因為從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有15種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的．
其中選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的情況有5種．
所以P（A）=$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$．
（2）由數(shù)據(jù)求得$\overline{x}$=11，$\overline{y}$=24．
由公式求得$\widehat$=$\frac{18}{7}$，再由$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$$\overline{x}$求得：$\widehat{a}$=-$\frac{30}{7}$，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為：$\widehat{y}$=$\frac{18}{7}$x-$\frac{30}{7}$．
（3）當(dāng)x=10時，y=$\frac{150}{7}$，
|$\frac{150}{7}$-22|=$\frac{4}{7}$＜2；
當(dāng)x=6時，y=$\frac{78}{7}$，|$\frac{78}{7}$-12|=$\frac{6}{7}$＜2；
所以，該小組所得線性回歸方程是理想的．

點評 本題考查線性回歸方程的求法，考查等可能事件的概率，考查線性分析的應(yīng)用，考查解決實際問題的能力，是一個綜合題目，這種題目可以作為解答題出現(xiàn)在高考卷中．