Question

20．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．
如圖，在陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E為PC中點(diǎn)，點(diǎn)F在PB上，且PB⊥平面DEF，連接BD，BE．
（Ⅰ）證明：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；
（Ⅲ）已知AD=2，$CD=\sqrt{2}$，求二面角F-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出BC⊥PD．BC⊥DC，從而BC⊥面PDC，進(jìn)而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能證明DE⊥面PBC．
（Ⅱ）四面體DBEF是鱉臑，$∠BED=∠FED=\frac{π}{2}$，$∠BFE=∠BFD=\frac{π}{2}$．
（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F-AD-B的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)镻D⊥面ABCD，BC?面ABCD，
所以BC⊥PD．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，
所以BC⊥DC．PD∩DC=D，
所以BC⊥面PDC．DE?面PDC，DE⊥BC，
在△PDC中，PD=DC，E為PC中點(diǎn)，
所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，
所以DE⊥面PBC．
解：（Ⅱ）四面體DBEF是鱉臑，
其中$∠BED=∠FED=\frac{π}{2}$，$∠BFE=∠BFD=\frac{π}{2}$．
（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則D（0，0，0），A（2，0，0），$C（0，\sqrt{2}，0）$，$P（0，0，\sqrt{2}）$，$B（2，\sqrt{2}，0）$．
設(shè)$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PB}$，則$F（2λ，\sqrt{2}λ，\sqrt{2}-\sqrt{2}λ）$．DF⊥PB得$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{PB}=0$，解得$λ=\frac{1}{4}$．
所以$F（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{{3\sqrt{2}}}{4}）$．
設(shè)平面FDA的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DF}\\ \overrightarrow n⊥\overrightarrow{DA}\end{array}\right.⇒$$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+\frac{{\sqrt{2}}}{4}y+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}z=0\\ 2x=0\end{array}\right.$，令z=1得x=0，y=-3．
平面FDA的法向量$\overrightarrow n=（0，-3，1）$，
平面BDA的法向量$\overrightarrow{DP}=（0，0，\sqrt{2}）$，
$cos＜\overrightarrow n$，$\overrightarrow{DP}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{DP}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{DP}}|}}=\frac{{-\sqrt{2}}}{{\sqrt{10}\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
二面角F-AD-B的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．