Question

11．等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y²=16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（　�。�

• A． 4
• B． 2
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)出雙曲線方程，由拋物線的幾何性質(zhì)可得拋物線y²=16x的準(zhǔn)線方程，則可以設(shè)出A、B的坐標(biāo)，利用|AB|=4，可得A、B的坐標(biāo)，將其坐標(biāo)代入雙曲線方程可得λ的值，將其變形可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由實(shí)軸的公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，要求等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
則可以設(shè)其方程為：x²-y²=λ，（λ＞0）
對(duì)于拋物線y²=16x，其準(zhǔn)線方程為x=-4，
設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線x=-4的兩個(gè)交點(diǎn)A（-4，y），B（-4，-y）（y＞0），
若|AB|=4，則有|y-（-y）|=4，解可得y=2，
即A（-4，2），B（-4，-2），
代入雙曲線方程可得：16-4=λ，解可得λ=12，
則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
則a=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，其C的實(shí)軸長(zhǎng)2a=4$\sqrt{3}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線，雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是依據(jù)題意設(shè)出等軸雙曲線的方程．