Question

2．如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，過點C作CO⊥AB，垂足為O，將△OBC沿CO折起，如圖2使得平面CBO與平面AOCD所成的二面角的大小為θ（0＜θ＜π），E，F分別為BC，AO的中點

（1）求證：EF∥平面ABD
（2）若θ=$\frac{π}{3}$，求二面角F-BD-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）過點E作EH∥BD，交CD于點H，連結HF，推導出平面EHF∥平面ABD，由此能證明EF∥平面ABD．
（2）由題得平面CBO與平面AOCD所成二面角的平面角為∠BOA=θ，連結BF，以點F為坐標原點，以FO，FH，FB分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F-BD-O的余弦值．

解答 證明：（1）過點E作EH∥BD，交CD于點H，連結HF，
則H為CD中點，∴HF∥AD
∵AD?平面ABD，HF?平面ABD，
∴HF∥平面ABD，
同理，EH∥平面ABD，
∵EH∩HF=H，∴平面EHF∥平面ABD，
∵EF?平面EHF，∴EF∥平面ABD．
解：（2）由題得平面CBO與平面AOCD所成二面角的平面角為∠BOA=θ，
連結BF，∵θ=$\frac{π}{3}$，OB=2，OF=1，∴BF⊥AO，
以點F為坐標原點，以FO，FH，FB分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則F（0，0，0），B（0，0，$\sqrt{3}$），D（-1，2，0），O（1，0，0），
設平面FBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FB}=\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FD}=-x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，解得$\overrightarrow{m}$=（2，-1，0）
同理得平面BDO的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}$，1），
設二面角F-BD-O的平面角為α，
cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}•\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{105}}{35}$，
∴二面角F-BD-O的余弦值為$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．

點評 本題考查空間直線與增面的位置關系、空間角、數學建模，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉化化歸思想、數形結合思想，是中檔題．