Question

17．直線y=kx-4，k＞0與拋物線y²=2$\sqrt{2}$x交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，若AB=2BC，則k=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 將直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及相似三角形的性質(zhì)，即可求得x₁，x₂，由x₁x₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$，代入計(jì)算即可求得k的值．

解答 解：如圖，過AB兩點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線拋物線的準(zhǔn)線的垂線，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2\sqrt{2}x}\\{y=kx-4}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（8k+2$\sqrt{2}$）x+16=0，
則x₁+x₂=$\frac{8k+2\sqrt{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$，
顯然△CB′B∽△CA′A，則$\frac{B′B}{A′A}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
由拋物線的定義得：$\frac{B′B}{A′A}$=$\frac{{x}_{2}+\frac{p}{2}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$=$\frac{2{x}_{2}+\sqrt{2}}{2{x}_{1}+\sqrt{2}}$，
∴$\frac{2{x}_{2}+\sqrt{2}}{2{x}_{1}+\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，整理得：4x₂=（x₁+x2）-$\sqrt{2}$，
∴x₂=$\frac{4k+\sqrt{2}}{2{k}^{2}}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
則x₁=$\frac{12k+3\sqrt{2}}{2{k}^{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，由x₁x₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$，則（$\frac{12k+3\sqrt{2}}{2{k}^{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）（$\frac{4k+\sqrt{2}}{2{k}^{2}}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）=$\frac{16}{{k}^{2}}$，由k＞，0解得：k=$\sqrt{2}$，
或?qū)⑦x項(xiàng)一一代入驗(yàn)證，只有A成立，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，相似三角形的性質(zhì)，計(jì)算量大，計(jì)算過程復(fù)雜，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．