【題目】已知一列函數(shù)，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，點(diǎn)在軸和直線上的射影分別為，記的面積為，的面積為.

（1）求的最小值，并指出此時(shí)的取值；

（2）在中任取一個(gè)函數(shù)，求該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的概率；

（3）是否存在正整數(shù)，使得成立，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）, （2） （3）不存在

【解析】

（1）根據(jù)題意表示出,結(jié)合基本不等式即可求得最小值及取得最小值時(shí)的值.

（2）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,結(jié)合打勾函數(shù)的圖像與性質(zhì),即可判斷在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的所有情況,即可求得在中滿足條件的概率.

（3）由直線與的交點(diǎn)為,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo).由點(diǎn)在軸和直線上的射影分別為,結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可求得的坐標(biāo).表示出的面積,的面積.將、的表達(dá)式代入等式中,通過化簡(jiǎn)變形,檢驗(yàn)即可得知的值,若不存在.

（1）函數(shù)

所以

由基本不等式可知,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即時(shí)取等號(hào)

所以的最小值為,當(dāng)時(shí)取等號(hào)

（2）因?yàn)?/span>結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)

所以

在內(nèi)滿足單調(diào)遞增,而不滿足.因而滿足在內(nèi)滿足單調(diào)遞增的函數(shù)共有49個(gè).

因?yàn)?/span>,而

而滿足在內(nèi)單調(diào)遞減,所以此時(shí)共有

所以該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的個(gè)數(shù)共有個(gè)

即該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的概率為

（3）因?yàn)橹本�與的交點(diǎn)為

所以

點(diǎn)在軸上的射影為,所以

點(diǎn)在直線上的射影為,直線方程化為一般式可得

則由點(diǎn)到直線距離公式可得

從向軸作垂直,交于點(diǎn)E

則

所以

畫出函數(shù)圖像如下圖所示:

所以的面積為

的面積為

假設(shè)存在正整數(shù),使得成立,代入可得

將式子化簡(jiǎn)可得

當(dāng)時(shí),等式左邊等于20,等式右邊等于17,等式不成立

當(dāng)時(shí),等式左邊等于32,等式右邊等于68,等式不成立

當(dāng)時(shí),等式左邊小于0,等式右邊大于0,等式不成立.

綜上可知,不存在正整數(shù),使得成立

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市計(jì)劃在一片空地上建一個(gè)集購(gòu)物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區(qū)，如圖，已知兩個(gè)購(gòu)物廣場(chǎng)的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購(gòu)物廣場(chǎng)、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.

（1）設(shè)，用關(guān)于的函數(shù)表示，并求在區(qū)間上的最大值的近似值（精確到0.001公頃）；

（2）如果，并且，試分別求出、、、的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列，{bn}數(shù)列是以q為公比的等比數(shù)列．

（1）若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜a1003+5b2﹣2010，求整數(shù)q的值；

（2）在（1）的條件下，試問數(shù)列中是否存在一項(xiàng)bk，使得bk恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p（p∈N，p≥2）項(xiàng)的和？請(qǐng)說明理由；

（3）若b1＝ar，b2＝as≠ar，b3＝at（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的約數(shù)），求證：數(shù)列{bn}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線，對(duì)坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn),定義,若兩點(diǎn),，滿足，稱點(diǎn),在曲線同側(cè)；，稱點(diǎn),在曲線兩側(cè).

(1)直線過原點(diǎn)，線段上所有點(diǎn)都在直線同側(cè)，其中，,求直線的傾斜角的取值范圍；

(2)已知曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)集的面積；

(3)記到點(diǎn)與到軸距離和為的點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點(diǎn),在曲線兩側(cè),求曲線的方程與實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某溫室大棚規(guī)定，一天中，從中午12點(diǎn)到第二天上午8點(diǎn)為保溫時(shí)段，其余4小時(shí)為工作作業(yè)時(shí)段，從中午12點(diǎn)連續(xù)測(cè)量20小時(shí)，得出此溫室大棚的溫度y（單位：度）與時(shí)間t（單位：小時(shí)，）近似地滿足函數(shù)關(guān)系，其中，b為大棚內(nèi)一天中保溫時(shí)段的通風(fēng)量。

（1）若一天中保溫時(shí)段的通風(fēng)量保持100個(gè)單位不變，求大棚一天中保溫時(shí)段的最低溫度（精確到0.1℃）；

（2）若要保持一天中保溫時(shí)段的最低溫度不小于17℃，求大棚一天中保溫時(shí)段通風(fēng)量的最小值。

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【題目】給出條件：①；②；③；④；使得函數(shù)，對(duì)任意，都使成立的條件序號(hào)是（）

A.①③B.②④C.③④D.②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于定義在上的函數(shù),若函數(shù)滿足：①在區(qū)間上單調(diào)遞減，②存在常數(shù),使其值域?yàn)?/span>，則稱函數(shù)是函數(shù)的“漸近函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)是不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”，說明理由；

(2)求證：函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”；

(3)若函數(shù)，,求證：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),是的“漸近函數(shù)”.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列各項(xiàng)不為0，前項(xiàng)和為.

（1）若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）在（1）的條件下，已知，分別求和的表達(dá)式；

（3）證明：是等差數(shù)列的充要條件是：對(duì)任意，都有：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）分別求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，求的長(zhǎng).

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