如圖，在三棱錐中，，，，設(shè)頂點A在底面上的射影為R．

（Ⅰ）求證: ；

（Ⅱ）設(shè)點在棱上，且，試求二面角的余弦值．

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助幾何體的中線面垂直，證明BCDE為正方形，達到證明線線垂直的目的；（Ⅱ）方法一利用定義法做出二面角，通過解三角形求解二面角的平面角；方法二建立利用空間向量法，通過兩個半平面的法向量借助夾角公式求解.

試題解析：證明：方法一：由平面，得，

又，則平面，

故，                 3分

同理可得，則為矩形，

又，則為正方形，故．         5分

方法二：由已知可得，設(shè)為的中點，則，則平面，故平面平面，則頂點在底面上的射影必在，故．

（Ⅱ）方法一:由（I）的證明過程知平面，過作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角，            8分

由已知可得，則，故，則，

又，則，               10分

故，即二面角的余弦值為 12分

方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐標系，

則，，，可得，       8分

則，，易知平面

的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則由得         10分

則，即二面角的余弦值為．     12分

考點：1.垂直關(guān)系的證明;2.二面角;3.空間向量.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐中，，，，．

（Ⅰ）求證；

（Ⅱ）求二面角的大��；

（Ⅲ）求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆廣西玉林市高二下學期三月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點．

 （Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．    （本題12分）

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省臺州市高三上學期期末理科數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，在三棱錐中， 兩兩垂直且相等，過的中點作平面∥，且分別交于，交的延長線于．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011---2012學年四川省高二10月考數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖：在三棱錐中，已知點、、分別為棱、、的中點.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）若，，求證：平面⊥平面.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：黑龍江省2013屆高一下學期期末考試數(shù)學（理） 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，為中點。（1）求證：平面

（2）在線段上是否存在一點，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點位置；若不存在，說明理由。

 

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