Question

19．若函數(shù)f（x）=（4-x²）（ax²+bx+5）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{3}{2}$對(duì)稱(chēng)，則f（x）的最大值是36．

Answer 1

分析 由點(diǎn)（2，0），（-2，0）在函數(shù)f（x）的圖象上，得點(diǎn)（-1，0），（-5，0）必在f（x）圖象上，從而得a=1，b=6．f（x）=（4-x²）（x²+6x+5）=-（x²+3x+2）（x²+3x-10），令$t={x^2}+3x+2={（x+\frac{3}{2}）^2}-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$，能求出f（x）的最大值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（4-x²）（ax²+bx+5）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{3}{2}$對(duì)稱(chēng)，
點(diǎn)（2，0），（-2，0）在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴點(diǎn)（-1，0），（-5，0）必在f（x）圖象上，
則$\left\{\begin{array}{l}{3（a-b+5）=0}\\{（-21）（25a-5b）=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=6．
∴f（x）=（4-x²）（x²+6x+5）=-（x+2）（x-2）（x+1）（x+5）=-（x²+3x+2）（x²+3x-10），
令$t={x^2}+3x+2={（x+\frac{3}{2}）^2}-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$，
則f（x）=-t（t-12）=-t²+12t=-（t-6）²+36，
當(dāng)t=6時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為36．
故f（x）的最大值是36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法的合理運(yùn)用．