Question

19．已知點(diǎn)P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，M，N是直線l：y=x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則滿(mǎn)足|MN|=t，則
①存在實(shí)數(shù)t使得△MNP為正三角的點(diǎn)P僅有一個(gè)
②存在實(shí)數(shù)t使得△MNP為正三角的點(diǎn)P僅有兩個(gè)
③存在實(shí)數(shù)t使得△MNP為正三角的點(diǎn)P僅有三個(gè)
④存在實(shí)數(shù)t使得△MNP為正三角的點(diǎn)P僅有四個(gè)
⑤存在實(shí)數(shù)t使得△MNP為正三角的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)
上述命題中正確命題有（　　）

• A． ②④
• B． ①③
• C． ②③④
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 設(shè)與直線y=x平行的直線方程為：y=x+m，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨取m＞0．假設(shè)此兩條直線的距離d=$\frac{m}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，可得m=$\frac{\sqrt{6}}{2}$t＞0，把直線方程y=x+m，代入橢圓方程可得：8x²+6$\sqrt{6}$tx+9t²-6=0，由△≥0，解出即可判斷出結(jié)論．

解答 解：設(shè)與直線y=x平行的直線方程為：y=x+m，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨取m＞0．
假設(shè)此兩條直線的距離d=$\frac{m}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，可得m=$\frac{\sqrt{6}}{2}$t＞0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\frac{\sqrt{6}}{2}t}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：8x²+6$\sqrt{6}$tx+9t²-6=0，
由△=$（6\sqrt{6}t）^{2}$-32（9t²-6）≥0，
解得：0＜$t≤\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
因此當(dāng)0＜$t≤\frac{2\sqrt{6}}{3}$時(shí)，可知：橢圓上一定存在兩個(gè)或四個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足：使得△MNP為正三角．
故只有②④正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同樣的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系及其距離、不等式的解法、一元二次方程的解與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．