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15.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O為AC中點(diǎn),則直線A1C與平面A1AB所成角的正弦值為( �。�
A.35B.217C.12D.32

分析 建立空間坐標(biāo)系,求出平面A1AB的法向量,利用向量法結(jié)合線面角的定義進(jìn)行求解即可.

解答 解:∵側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O為AC中點(diǎn),
∴OB⊥側(cè)面AA1C1C,
建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OA1分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:
則OA=OC=1,OA1=3,OB=1,
則A(1,0,0),B(0,1,0),A1(0,0,3),C(-1,0,0),
設(shè)平面A1AB的法向量為n=(x,y,z),
AB=(-1,1,0),AA1=(-1,0,3),
nAB=-x+y=0,nAA1=-x+3z=0,
令z=1,則x=y=3
n=(3,3,1),
A1C=(-1,0,-3),
∴sin<A1C,n>=|cos<A1C,n>|=|A1Cn|A1C||n||=|333+3+11+3|=2327=217,
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面角的求解,建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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5.如圖,點(diǎn)A、B、D、E在⊙O上,ED、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,AD、BE交于點(diǎn)F,AE=EB=BC.
(1)證明:^DE=^BD;
(2)若DE=4,AD=8,求DF的長(zhǎng).

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6.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1,D為AB的中點(diǎn),且CD⊥DA1
(I)求證:BC1∥平面DCA1
(II)求證:平面ABC⊥平面ABB1A1
(III)求BC1與平面ABB1A1所成角的大�。�

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3.已知函數(shù)f(x)=eax,g(x)=sinx.
(1)若直線y=f(x)與y=g(x)在x=0處的切線平行,求a,并討論y=f(x)+g(x)在(-1,+∞)上的單調(diào)性;
(2)若對(duì)任意x∈(0,\frac{π}{2}}),都有f(xa)g(x)>kx,求k的取值范圍.

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10.如果X~B(1,p),則D(X)( �。�
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20.已知數(shù)列{an}滿足an+1=2+an(n∈N*),a2=3a5,其前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)于任意的n∈N*,總有Sn≥Sk成立,則|ak|+|ak+1|+…+|a15|=82.

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7.如圖,已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為22,點(diǎn)A是橢圓C上任意一點(diǎn),且△AF1F2的周長(zhǎng)為2(2+1)
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動(dòng)點(diǎn)B在直線l:y=2上,且OA⊥OB,點(diǎn)O到直線AB的距離為d(A,B),求證:d(A,B)為定值.

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4.如圖,AB是⊙O的直徑,CB切⊙O于點(diǎn)B,CD切⊙O于點(diǎn)D,交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若ED=3,∠ADE=30°,則△BDC的外接圓的直徑為(  )
A.1B.3C.2D.23

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5.已知tan(α+π4)=2,tan(β-3π4)=-3,則tan(α-β)=(  )
A.1B.-57C.57D.-1

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