Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2+a_n（n∈N^*），a₂=3a₅，其前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)于任意的n∈N^*，總有S_n≥S_k成立，則|a_k|+|a_k+1|+…+|a₁₅|=82．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2+a_n（n∈N^*），可得數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，又a₂=3a₅，可得a_n=2n-13．由a_n≥0，可得當(dāng)n=6時(shí)，S_n取得最小值，k=6．去掉絕對(duì)值符號(hào)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2+a_n（n∈N^*），∴數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，又a₂=3a₅，∴a₁+2=3（a₁+4×2），解得a₁=-11，∴a_n=-11+2（n-1）=2n-13．
由a_n≥0，解得n≥7，n≤6時(shí)，a_n＜0．因此當(dāng)n=6時(shí)，S_n取得最小值，
∵對(duì)于任意的n∈N^*，總有S_n≥S_k成立，
∴k=6．
∴|a_k|+|a_k+1|+…+|a₁₅|=-a₆+a₇+…+a₁₅=9a₁₁-a₆=9×（2×11-13）-（2×6-13）=82．
故答案為：82．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性、絕對(duì)值數(shù)列求和問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．