Question

已知g（x）=mx+2，f（x）=x²-

3x2-4

x2

，若對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[1，

3

]，使得g（x₁）＞f（x₂），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：命題“對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[1，

3

]，使得g（x₁）＞f（x₂）”?g（x）_最小值＞f（x）_最小值，只要g（x）_最小值＞1即可．

解答： 解：∵x∈[1，

3

]，∴x²∈[1，3]，∴f（x）=x²-

3x2-4

x2

=x²+

4

x2

-3≥2-3=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=

4

x2

，即x²=2時(shí)取等號(hào)．∴f（x）_最小值=1，
命題“對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[1，

3

]，使得g（x₁）＞f（x₂）”?g（x）_最小值＞f（x）_最小值
只要g（x）_最小值＞1即可．
當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）=mx+2是增函數(shù)，
對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，g（x）_min=g（-1）=2-m．
由題設(shè)知2-m＞1，解得m＜1，
∴0＜m＜1．
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）=mx+2是減函數(shù)，
對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，g（x）_min=g（2）=2m+2．
由題設(shè)知2m+2＞1，解得m＞-

1

2

，
∴-

1

2

＜m＜0．
當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=2＞1，成立．
綜上所述，m∈（-

1

2

，1）．
故答案為：（-

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．