Question

3．已知A、B分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，E、F是橢圓左、右焦點(diǎn)，以E點(diǎn)為圓心3為半徑的圓與以F點(diǎn)為圓心1為半徑的圓的交點(diǎn)在橢圓C上，且|AB|=$\sqrt{7}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線ME與x軸不垂直，它與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，M′是點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，試判斷直線NM′是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義可知丨PE丨+丨PF丨=2a=4，則a=2，a²+b²=7，即可求得b²=3，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線MN的方程，代入橢圓方程，利用點(diǎn)斜式方程求得的NM′方程，y=0，利用韋達(dá)定理，即可求得x，則直線直線NM′是否過定點(diǎn)（-4，0）．

解答 解：（1）由題意可知，丨PE丨+丨PF丨=2a=1+3=4，可得a=2，
又|AB|=$\sqrt{7}$，則a²+b²=7，
解得：b²=3，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)MN的方程x=ty-1，（t≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），M′（-x₁，-y₁），
x₁≠x₂，y₁+y₂≠0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3t²+4）y²-6ty-9=0，
△=（-6t）²-4（-9）（3t²+4）=144t²+144＞0，
則y₁+y₂=$\frac{6t}{3+4{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，
則直線M′N的方程y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
當(dāng)y=0時(shí)，則x=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$+x₂=$\frac{{y}_{1}{x}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}（t{y}_{2}-1）+{y}_{2}（t{y}_{1}-1）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{2t{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$-1=$\frac{\frac{-18t}{3{t}^{2}+4}}{\frac{6t}{3{t}^{2}+4}}$-1=-4，
則直線NM′是否過定點(diǎn)（-4，0）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的點(diǎn)斜式方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．