Question

20．函數(shù)g（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax在區(qū)間（-∞，$\frac{a}{3}$）內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（　�。�

• A． a≥1
• B． a≤1
• C． a≥-1
• D． -1≤a≤0

Answer 1

分析 由g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a，g（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）遞減，則g′（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）上小于等于0，討論（1）a=0時，（2）a＞0，（3）a＜0時的情況，從而求出a的范圍．

解答 解：∵g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a，g（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）遞減，
則g′（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）上小于等于0，即：3ax²+4（1-a）x-3a≤0，
（1）a=0時，g′（x）≤0，解得：x≤0，即g（x）的減區(qū)間是（-∞，0），
∴$\frac{a}{3}$≤0，才能g（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）遞減，解得a=0 成立．
（2）a＞0，g′（x）是一個開口向上的拋物線，
要使g′（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）上小于等于0 解得：a無解；
（3）a＜0，g′（x）是一個開口向下的拋物線，
設(shè)g′（x）與x軸的左右兩交點為A（x₁，0），B（x₂，0）
由韋達(dá)定理，知x₁+x₂=-$\frac{4（1-a）}{3a}$，x₁x₂=-1，
解得：x₁=-$\frac{2（1-a）+\sqrt{13{a}^{2}-8a+4}}{3a}$，
則在A左邊和B右邊的部分g′（x）≤0 又知g（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）遞減，
即g′（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）上小于等于0，
∴x₁≥$\frac{a}{3}$，即：解得-1≤a≤5，取交集，得-1≤a＜0，
∴a的取值范圍是-1≤a≤0．
故選：D．

點評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．