Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）若f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（2）設(shè) g（x）=ln（f（x））+x²-ax，求證：n-＜g（）＜-（n≥3且n∈N）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于函數(shù)為分段函數(shù)，故需要進(jìn)行分類討論．當(dāng)x∈（0，1），f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而對(duì)任意的x∈（0，1），f′（x）≥0，即-2x²+ax+1≥0，構(gòu)造g（x）=-2x²+ax+1，則，從而可求a≥1；①當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，根據(jù)f（x）在[1，+∞）上連續(xù)，所以f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，從而可知f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；②當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，f（x）在（0，+∞）上不是增函數(shù)，從而可求a的范圍；
（2）因?yàn)閚≥3且n∈N，所以，從而可知x∈（0，1），g（x）=lnx
，再將證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明．先猜想當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，從而可得
故得證．
解答：解：（1）當(dāng)x∈（0，1），f（x）=x
∴=（-2x²+ax+1）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴?x∈（0，1），f′（x）≥0
∴-2x²+ax+1≥0
設(shè)g（x）=-2x²+ax+1，則
∴a≥1
①當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)
當(dāng)x＞1，f′（x）=1-
∵f（x）在[1，+∞）上連續(xù)
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)
∵x→1^-，f（x）→1
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
②當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)
當(dāng)x＞1，f′（x）=a-
∵f（x）在[1，+∞）上連續(xù)
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)
∵x→1^-，f（x）→e^a-1＞1=f（1）
∴f（x）在（0，+∞）上不是增函數(shù)
故a的范圍是a=1
（2）∵n≥3且n∈N
∴
∴
∵x∈（0，1），g（x）=lnx
∴g（）=
∴n-＜g（）＜-
?n-＜＜-
?n-＜＜-
?
猜想當(dāng)0＜x＜1時(shí)，
令
則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，
∴h（x）在（0，1）上遞減
∴h（x）＞h（1）=0
∴
∵
∴R（x）在（0，1）上遞增
∴R（x）＞R（1）=0
∴l(xiāng)nx＜x-1
∴猜想成立
∴
∴
故n-＜g（）＜-（n≥3且n∈N）成立．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是合理的進(jìn)行等價(jià)變形，正確的分類討論．